隨機(jī)變量模型和隨機(jī)過(guò)程模型是研究應(yīng)力腐蝕概率的常用模型,本章重點(diǎn)介紹隨機(jī)變量模型。


一、應(yīng)力-強(qiáng)度干涉模型


 1942年,Pugsley提出了采用應(yīng)力、強(qiáng)度分布函數(shù)曲線的干涉區(qū)面積分析失效概率的方法,即應(yīng)力-強(qiáng)度干涉模型,該模型在構(gòu)件和系統(tǒng)的可靠性分析中得到了廣泛應(yīng)用。目前,已成為分析構(gòu)件和系統(tǒng)失效概率的重要模型之一。在結(jié)構(gòu)可靠性分析中,應(yīng)力-強(qiáng)度(S-R)干涉模型應(yīng)用最廣,模型中的S和R的含義不僅僅是力學(xué)分析中的應(yīng)力和強(qiáng)度,二者具有更廣泛的范疇。對(duì)于一個(gè)系統(tǒng)而言,S指的是造成結(jié)構(gòu)破壞的所有因素,即推動(dòng)力;R代表了結(jié)構(gòu)抵抗破壞的能力,即阻抗力。


  應(yīng)力腐蝕斷裂是一種低應(yīng)力脆斷,是斷裂和腐蝕兩種機(jī)理相互影響的結(jié)果。因此,當(dāng)應(yīng)力還遠(yuǎn)低于斷裂應(yīng)力時(shí)就能引起應(yīng)力腐蝕裂紋的產(chǎn)生和擴(kuò)展。應(yīng)力作用降低了材料的耐腐蝕性能,而腐蝕降低了材料的斷裂強(qiáng)度,兩者是互相促進(jìn)的。也就是說(shuō),機(jī)械力和化學(xué)力的協(xié)同作用導(dǎo)致了裂紋的擴(kuò)展,如果只有應(yīng)力或腐蝕單獨(dú)作用,是不會(huì)出現(xiàn)應(yīng)力腐蝕斷裂的結(jié)果。應(yīng)力腐蝕斷裂要經(jīng)過(guò)一定的時(shí)間才能發(fā)生,這是因?yàn)槟芰糠e蓄到使材料破壞的程度是需要時(shí)間的,應(yīng)力腐蝕是使材料強(qiáng)度逐漸退化的過(guò)程,因此,我們可以采用耐久性損傷模型來(lái)描述應(yīng)力腐蝕失效的物理過(guò)程。由S-R干涉模型的理論可以寫(xiě)出結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)方程


式 1.jpg

式 2.jpg


  因此,對(duì)于失效概率的研究就轉(zhuǎn)化為對(duì)強(qiáng)度和應(yīng)力由于概率分布干涉引起的狀態(tài)失效問(wèn)題的研究。當(dāng)fs(s)和fR(r)分別表示應(yīng)力和強(qiáng)度的概率密度函數(shù)時(shí),圖中兩者重疊部分面積反映了失效概率的大小,如圖6-1所示。


1.jpg


  假如最初應(yīng)力與強(qiáng)度是留有充分的安全余量的,那么經(jīng)過(guò)一定時(shí)間后,隨著應(yīng)力分布與強(qiáng)度分布的交疊,就有失效發(fā)生,這種情形可以說(shuō)是耐久模型的典型例子。根據(jù)應(yīng)力-強(qiáng)度干涉模型不但能夠求解應(yīng)力腐蝕失效概率,還可以分析應(yīng)力腐蝕不同階段的概率情況,如裂紋的萌生概率、裂紋的擴(kuò)展概率等。


  當(dāng)材料發(fā)生腐蝕后,隨著時(shí)間的推移,材料抵抗破壞的能力降低,而腐蝕環(huán)境很可能變得更加苛刻。例如應(yīng)力腐蝕,隨著裂紋的擴(kuò)展,材料強(qiáng)度降低、裂紋尖端應(yīng)力集中區(qū)域增大,局部存在侵蝕性離子的富集,使得廣義應(yīng)力變大而強(qiáng)度降低,此時(shí)S(t)和R(t)都是與時(shí)間有關(guān)的變量,很顯然,概率密度函數(shù)也著時(shí)間的變化而變化。當(dāng)強(qiáng)度隨時(shí)間發(fā)生衰退時(shí),強(qiáng)度和應(yīng)力組成的干涉區(qū)域隨時(shí)間變化會(huì)越來(lái)越大,這意味著產(chǎn)品可靠性在降低。


2.jpg


  大多數(shù)參數(shù)的不確定性與時(shí)間有關(guān)。發(fā)生應(yīng)力腐蝕時(shí),構(gòu)件所受的廣義應(yīng)力一般是隨機(jī)過(guò)程,應(yīng)力稱(chēng)為時(shí)間的函數(shù),強(qiáng)度為一固定的臨界值,如圖6-2所示,功能函數(shù)應(yīng)表示為


式 5.jpg



二、應(yīng)力腐蝕參數(shù)的概率分布估計(jì)


1. 變量分布類(lèi)型確定


  采用S-R模型分析應(yīng)力腐蝕失效概率時(shí),第一步是確定應(yīng)力腐蝕的“推動(dòng)力”,即S所包含的參數(shù),包括溫度、侵蝕性離子濃度、pH值等,分析各參數(shù)的分布概型。在進(jìn)行參數(shù)的概率分布類(lèi)型研究中,一般經(jīng)過(guò)以下步驟:①. 假設(shè)隨機(jī)變量服從某一分布;②. 在假設(shè)分布基礎(chǔ)上構(gòu)建統(tǒng)計(jì)量;③. 根據(jù)統(tǒng)計(jì)量的分布做出統(tǒng)計(jì)推斷,進(jìn)行擬合檢驗(yàn);④. 選擇最優(yōu)概型。常用的統(tǒng)計(jì)量包括均值、標(biāo)準(zhǔn)差、極差、變異系數(shù)、偏度等。正態(tài)分布、威布爾(Weibull)分布、指數(shù)分布以及Poisson分布等都是應(yīng)力腐蝕概率分析中經(jīng)常用到的隨機(jī)變量的概率分布類(lèi)型。


通常,直接計(jì)算概率的密度函數(shù)難度非常大,常用的處理方法是把概率密度估計(jì)轉(zhuǎn)化為參數(shù)估計(jì)問(wèn)題。因此概率密度函數(shù)的確定是關(guān)鍵,正確的密度函數(shù)是獲得準(zhǔn)確估計(jì)值的重要前提。


2. 參數(shù)的估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)


由于正態(tài)分布情況發(fā)生的比較多,因此,以正態(tài)分布為例加以說(shuō)明。參數(shù)估計(jì)的思路是采用樣本統(tǒng)計(jì)量估計(jì)總體參數(shù)。常用的參數(shù)估計(jì)方法有矩估計(jì)法和最大(極大)似然法,除此之外,還有最小二乘、貝葉斯估計(jì)等方法。矩估計(jì)法不受變量分布的影響,這也恰恰成為該方法的缺點(diǎn),即變量的分布信息不能被充分利用,一般具有多個(gè)分析結(jié)果。與矩估計(jì)法相反,最大似然法的使用受已知變量概型的影響,必須在已知概型的前提下才能使用,而且假設(shè)的概率模型正確性對(duì)參數(shù)估計(jì)結(jié)果影響很大。最大似然估計(jì)法具有計(jì)算簡(jiǎn)單、收斂型好等特點(diǎn),在參數(shù)估計(jì)中的應(yīng)用更加廣泛,其主要計(jì)算步驟如下:


式 8.jpg


  式(6-10)稱(chēng)為似然方程組,求解該方程組,得出均值、方差最大似然估計(jì)值


式 11.jpg


  以上過(guò)程是參數(shù)估計(jì),下面對(duì)參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)。與參數(shù)估計(jì)的目的相同,參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)也是根據(jù)樣本信息對(duì)總體的數(shù)量特征進(jìn)行推斷。


  假設(shè)檢驗(yàn)是以樣本資料對(duì)總體的先驗(yàn)假設(shè)是否成立,根據(jù)樣本的統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)假設(shè)的總體參數(shù)的可靠度,同時(shí)做出判斷結(jié)果,判斷結(jié)果包括接受和拒絕。分析過(guò)程是:①. 提出原假設(shè)(要求檢驗(yàn)的假設(shè))H0 :F(x)=F0(x)和備選假設(shè)(如果原假設(shè)不成立,就要接受另一個(gè)假設(shè))H1:F(x)≠F0(x);②. 選取恰當(dāng)?shù)臋z驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量;③. 計(jì)算觀測(cè)值;④. 確定顯著性水平;⑤. 依據(jù)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量觀測(cè)值的位置給出判斷結(jié)果。


在以上分析過(guò)程中,可能會(huì)犯兩類(lèi)錯(cuò)誤:當(dāng)H0為真時(shí)而拒絕H0,稱(chēng)為第一類(lèi)錯(cuò)誤;當(dāng)H0為假時(shí)而接受H0,稱(chēng)為第二類(lèi)錯(cuò)誤。犯兩類(lèi)錯(cuò)誤的概率通常是矛盾的:一個(gè)概率小了另一個(gè)概率就大。在實(shí)際使用中,我們一般限定犯第一類(lèi)錯(cuò)誤的概率不超過(guò)給定的α,使犯第二類(lèi)錯(cuò)誤的概率就可能小。在正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)中,主要包括均值的U檢驗(yàn)和t檢驗(yàn)、方差的χ2檢驗(yàn)等。


3. 分布的假設(shè)檢驗(yàn)


  上一小節(jié)介紹的是在總體分布已知的情況下,對(duì)分布中的一些未知參數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)。但是,很多時(shí)候并不知道總體的分布規(guī)律,我們往往是根據(jù)樣本來(lái)假設(shè)總體的分布類(lèi)型,因此,對(duì)于總體樣本所假設(shè)的分布是否正確,還需要檢驗(yàn),常用的有χ2、J-B、A-D、K-S等檢驗(yàn)方法,其中χ2檢驗(yàn)應(yīng)用較多,下面以這種方法為例,介紹檢驗(yàn)過(guò)程。


  χ2檢驗(yàn)法的分析過(guò)程是:①. 提出原假設(shè);②. 檢驗(yàn)假設(shè)H0:Fx(x)=F0(x;θ1,θ2,··,θm).先用若干個(gè)互不相交的小區(qū)間把樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行分組,通常每個(gè)區(qū)間的數(shù)據(jù)不少于5個(gè),若不滿(mǎn)足這一要求,可以通過(guò)合并區(qū)間來(lái)達(dá)到這一要求。假設(shè)H0成立,根據(jù)分組結(jié)果計(jì)算χ2檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量


式 12.jpg


雜 1.jpg


4. 主要參數(shù)的概率分布


 根據(jù)以上分析步驟,對(duì)應(yīng)力腐蝕環(huán)境中的離子濃度的統(tǒng)計(jì)性進(jìn)行分析。數(shù)據(jù)來(lái)自某石化企業(yè)的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)。頻率直方圖要將樣本值分為r個(gè)不相交的區(qū)間,r值可由 Sturges公式確定,并取整數(shù)。r值取決于樣本數(shù)n。


式 13.jpg

3.jpg

3.1.jpg


  首先,假設(shè)各參數(shù)服從正態(tài)分布,并畫(huà)出正態(tài)分布的密度函數(shù)曲線,該計(jì)算采用matlab編程完成,計(jì)算結(jié)果如圖6-3所示。


  從圖6-3可以看出,pH、氯離子濃度和硫酸根離子濃度滿(mǎn)足正態(tài)分布,而亞硫酸根離子濃度不滿(mǎn)足正態(tài)分布,經(jīng)過(guò)分析,認(rèn)為滿(mǎn)足威布爾分布,如圖6-4所示。


4.jpg


  經(jīng)過(guò)卡方檢驗(yàn),在顯著性水平0.05下,可以認(rèn)為:


  溫度服從N(98.25,1.642);


  pH服從N(4.4608,0.29522);


  硫酸根離子濃度服從N(143.5204,9.48592);


  氯離子濃度服從N(35.3481,17.57352);


  亞硫酸根離子濃度服從α=0.5926,β=1.5746的兩參數(shù)威布爾分布。


  亞硫酸根離子濃度服從威布爾分布的原因:亞硫酸根不穩(wěn)定,與氫離子反應(yīng),從而濃度逐漸減小。


三、失效概率計(jì)算方法


1. 解析法


  當(dāng)應(yīng)力和強(qiáng)度是比較簡(jiǎn)單的變量時(shí),式(6-4)可以直接計(jì)算失效概率。在一些研究中,會(huì)出現(xiàn)“干涉面積=失效概率”的說(shuō)法,這種說(shuō)法是不正確的。根據(jù)可靠性理論可知,應(yīng)力-強(qiáng)度模型中強(qiáng)度大于應(yīng)力的概率即為可靠度??煽慷萈可根據(jù)下式計(jì)算


5.jpg



  從計(jì)算結(jié)果可以看出,失效概率遠(yuǎn)小于干涉面積之和。


式 17.jpg

式 24.jpg


2. 數(shù)值解析法


  當(dāng)隨機(jī)變量較多時(shí),直接求解失效概率值是很困難的,采用數(shù)值求解是一種比較好的解決方法。在應(yīng)力腐蝕概率計(jì)算中,涉及的隨機(jī)變量較多且具有不同的分布類(lèi)型,結(jié)果難以用解析法和近似法求解,可以采用蒙特卡洛(Monte-Carlo)模擬法。Monte-Carlo模擬法的特點(diǎn)是:①. 受研究問(wèn)題維數(shù)的影響較?。虎? 不受假設(shè)約束;③. 不存在狀態(tài)空間爆炸問(wèn)題;④. 不受變量數(shù)量的影響。因此,Monte-Carlo法是一種處理高維動(dòng)態(tài)失效概率問(wèn)題的方法。


  蒙特卡洛模擬法又稱(chēng)為隨機(jī)模擬法,基本思想是:


式 27.jpg